Quel est le point commun entre un chou romanesco, nos poumons, la côte bretonne, notre système nerveux, un flocon de neige ou encore le cerveau humain ? Ils présentent une structure auto-similaire à toutes les échelles, ce qui en fait des « fractales ». Ce terme a été inventé par le mathématicien polono-franco-américain Benoît Mandelbrot pour signifier que ces curieux objets ont tous une dimension spatiale non entière. Les contributions de Mandelbrot à la géométrie fractale ont été si nombreuses durant plusieurs décennies que les fractales jouent désormais un rôle fondamental dans de nombreux domaines de recherche comme par exemple la modélisation du changement climatique, l’étude des trajectoires de météorites ou encore l’évolution de la croissance de cellules cancéreuses.
Depuis 2018, les professeurs du département de mathématiques du LGE organisent tous les deux ans une journée dédiée soit aux travaux d’une personnalité issue du monde mathématique (Euler le 2.7.18, Cantor le 3.3.20), soit à une notion fondamentale de la discipline (la symétrie le 22.2.22). À l’occasion du 100e anniversaire de Mandelbrot, qui a eu lieu le 20.11.24, il nous a donc paru évident de consacrer la quatrième édition de nos journées mathématiques aux fractales et à leurs propriétés fascinantes.
Comme par le passé, la journée s’est déroulée à plusieurs niveaux:
- Sous la direction de Mme Bausch et Mme Giusto, et avec l’aide de Mme Vien, Mme Zago et M. Antonio, les élèves de 4.1 et 2D ont recréé dans le hall sportif une version géante (près de 8 mètres de diamètre) du célèbre flocon de Helge von Koch. Grâce à 6 itérations du processus de construction réparties sur toute la figure, les élèves (et les spectateurs) ont pu apprécier, étape par étape, la structure auto-similaire de cette fractale très connue.
- En salle informatique, les élèves de 2B ont présenté à plusieurs reprises leur atelier « Le monde des fractales ». Encadrés par M. Glodt, M. Bimmermann et M. Mainini, ils ont permis à leurs collègues de 2C, 3BC et 3C – mais aussi à une douzaine de professeurs du LGE, à notre direction et au Dr Meyrath de l’Université du Luxembourg – de découvrir les bases de la géométrie fractale de façon ludique et interactive. Ainsi, des considérations théoriques et historiques se sont mêlées à des vidéos explicatives, des visualisations à l’aide de lunettes 3D, des applications Geogebra, des posters, mais aussi à un broccoli, un chou-fleur, un Rubik’s Cube et même à des solides fractals créés par M. Rodrigues via l’imprimante 3D. Chaque spectateur a également eu l’occasion de créer sa propre fractale par pliage et découpage d’une feuille de papier cartonné.
- La classe 5.1 de l’année scolaire 2023-24 et la classe 6.1 actuelle de M. Glodt, mais aussi la classe 3A de Mme Wenandy ont réalisé de nombreuses affiches liées aux fractales (biographie et ensemble de Benoît Mandelbrot, ensembles de Julia, spirales d’or, escargots de Pythagore, courbe de Peano etc.). Elles ont été exposées dans les couloirs du LGE pour permettre à tous les élèves intéressés de s’informer en dehors des heures de cours.
- En l’honneur de M. « Mandelbrot », des élèves de 4.1 ont également vendu du pain aux amandes (confectionné avec amour par Mme Bausch) en forme de la fractale dite «arbre de Pythagore».
- D’autres ateliers ont eu lieu tout au long de la semaine, comme par exemple un atelier consacré au triangle de Sierpinski (dans les classes CLIJA de M. Weiten, et dans les classes 4.5 et 2G2 de M. Mainini) ou à la programmation en Python de l’ensemble de Mandelbrot (en classe 1B de M. Rodrigues).
Même si les fractales demeurent assez mal connues en dehors du monde des mathématiques, notre « Fractal Day » a connu un franc succès auprès des élèves et des enseignants, notamment parce que la structure auto-similaire des fractales est captivante et que leurs applications concrètes sont de plus en plus nombreuses.
texte : Melvyn Mainini / photos (c) Jil Zago / Romain Glodt